EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

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 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Na mecânica quântica, o teorema de Hellmann – Feynman relaciona a derivada da energia total em relação a um parâmetro, ao valor esperado da derivada do Hamiltoniano em relação a esse mesmo parâmetro. De acordo com o teorema, uma vez que a distribuição espacial dos elétrons tenha sido determinada resolvendo a equação de Schrödinger, todas as forças no sistema podem ser calculadas usando a eletrostática clássica .

O teorema foi provado de forma independente por muitos autores, incluindo Paul Güttinger (1932),^[1] Wolfgang Pauli (1933),^[2] Hans Hellmann (1937) ^[3] e Richard Feynman (1939).^[4]

O teorema afirma

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} E_{\lambda }}{\mathrm {d} \lambda }}&={\bigg \langle }\psi _{\lambda }{\bigg |}{\frac {\mathrm {d} {\hat {H}}_{\lambda }}{\mathrm {d} \lambda }}{\bigg |}\psi _{\lambda }{\bigg \rangle }\\\\\end{aligned}},}$/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Onde

• ${\displaystyle {\hat {H}}_{\lambda }}$ é um operador hamiltoniano, dependendo de um parâmetro contínuo ${\displaystyle \lambda \,}$ ,
• ${\displaystyle |\psi _{\lambda }\rangle }$, é um estado próprio (auto função) do Hamiltoniano, dependendo implicitamente de ${\displaystyle \lambda }$ ,
• ${\displaystyle E_{\lambda }\,}$ é a energia (autovalor) do estado ${\displaystyle |\psi _{\lambda }\rangle }$, ie ${\displaystyle {\hat {H}}_{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle =E_{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle }$ .

Prova

Essa prova do teorema de Hellmann – Feynman exige que a função de onda seja uma função própria do Hamiltoniano em consideração; no entanto, também se pode provar de maneira mais geral que o teorema se aplica a funções de onda sem função própria que são estacionárias (derivada parcial é zero) para todas as variáveis relevantes (como rotações orbitais). A função de onda Hartree – Fock é um exemplo importante de uma função própria aproximada que ainda satisfaz o teorema de Hellmann – Feynman. Um exemplo notável de onde a Hellmann – Feynman não é aplicável é, por exemplo, a teoria de perturbações de Møller – Plesset de ordem finita, que não é variacional.^[5]

A prova também emprega uma identidade de funções de onda normalizadas   - que as derivadas da sobreposição de uma função de onda com ela mesma devem ser zero. Usando a notação de braçadeira de Dirac, essas duas condições são escritas como

${\displaystyle {\hat {H}}_{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle =E_{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle ,}$

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 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle \langle \psi _{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle =1\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\langle \psi _{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle =0.}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

A prova então segue através da aplicação da regra do produto derivado ao valor esperado do Hamiltoniano visto como uma função de λ:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} E_{\lambda }}{\mathrm {d} \lambda }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\langle \psi _{\lambda }|{\hat {H}}_{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle \\&={\bigg \langle }{\frac {\mathrm {d} \psi _{\lambda }}{\mathrm {d} \lambda }}{\bigg |}{\hat {H}}_{\lambda }{\bigg |}\psi _{\lambda }{\bigg \rangle }+{\bigg \langle }\psi _{\lambda }{\bigg |}{\hat {H}}_{\lambda }{\bigg |}{\frac {\mathrm {d} \psi _{\lambda }}{\mathrm {d} \lambda }}{\bigg \rangle }+{\bigg \langle }\psi _{\lambda }{\bigg |}{\frac {\mathrm {d} {\hat {H}}_{\lambda }}{\mathrm {d} \lambda }}{\bigg |}\psi _{\lambda }{\bigg \rangle }\\&=E_{\lambda }{\bigg \langle }{\frac {\mathrm {d} \psi _{\lambda }}{\mathrm {d} \lambda }}{\bigg |}\psi _{\lambda }{\bigg \rangle }+E_{\lambda }{\bigg \langle }\psi _{\lambda }{\bigg |}{\frac {\mathrm {d} \psi _{\lambda }}{\mathrm {d} \lambda }}{\bigg \rangle }+{\bigg \langle }\psi _{\lambda }{\bigg |}{\frac {\mathrm {d} {\hat {H}}_{\lambda }}{\mathrm {d} \lambda }}{\bigg |}\psi _{\lambda }{\bigg \rangle }\\&=E_{\lambda }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\langle \psi _{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle +{\bigg \langle }\psi _{\lambda }{\bigg |}{\frac {\mathrm {d} {\hat {H}}_{\lambda }}{\mathrm {d} \lambda }}{\bigg |}\psi _{\lambda }{\bigg \rangle }\\&={\bigg \langle }\psi _{\lambda }{\bigg |}{\frac {\mathrm {d} {\hat {H}}_{\lambda }}{\mathrm {d} \lambda }}{\bigg |}\psi _{\lambda }{\bigg \rangle }.\end{aligned}}}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Prova alternativa

O teorema de Hellmann-Feynman é na realidade uma consequência direta e, em certa medida trivial, do princípio variacional (o princípio variacional de Rayleigh-Ritz ) do qual a equação de Schrödinger pode ser derivada. É por isso que o teorema de Hellmann-Feynman vale para funções de onda (como a função de onda Hartree-Fock) que, embora não sejam funções próprias do Hamiltoniano, derivam de um princípio variacional. É também por isso que ela se aplica, por exemplo, na teoria funcional da densidade, que não é baseada na função de onda e para a qual a derivação padrão não se aplica.

De acordo com o princípio variacional de Rayleigh-Ritz, as funções próprias da equação de Schrödinger são pontos estacionários do funcional (que denominamos Schrödinger funcional por questões de concisão):

${\displaystyle E[\psi ,\lambda ]={\frac {\langle \psi |{\hat {H}}_{\lambda }|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}.}$/

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Os autovalores são os valores que a funcional Schrödinger assume nos pontos estacionários:

${\displaystyle E_{\lambda }=E[\psi _{\lambda },\lambda ],}$

/  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = /  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  =

(3)

Onde ${\displaystyle \psi _{\lambda }}$ satisfaz a condição variacional:

${\displaystyle \left.{\frac {\delta E[\psi ,\lambda ]}{\delta \psi (x)}}\right|_{\psi =\psi _{\lambda }}=0.}$

Vamos diferenciar a Eq. (3) usando a regra da cadeia :

${\displaystyle {\frac {dE_{\lambda }}{d\lambda }}={\frac {\partial E[\psi _{\lambda },\lambda ]}{\partial \lambda }}+\int {\frac {\delta E[\psi ,\lambda ]}{\delta \psi (x)}}{\frac {d\psi _{\lambda }(x)}{d\lambda }}dx.}$/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Devido à condição variacional, a Eq. (4), o segundo termo na Eq. (5) desaparece. Em uma frase, o teorema de Hellmann – Feynman afirma que a derivada dos valores estacionários de uma função (al) em relação a um parâmetro do qual ela pode depender pode ser computada apenas a partir da dependência explícita, desconsiderando a implícita . Devido ao fato de que o funcional de Schrödinger só pode depender explicitamente de um parâmetro externo através da equação Hamiltoniana. (1) segue trivialmente.

Aplicações de exemplo

Forças moleculares

Quando se trata de aplicações, a mais comum do teorema em questão é o cálculo de forças intramoleculares em moléculas. Isso permite que sejam feitos muitos cálculos degeometrias de equilíbrio - as coordenadas nucleares onde essas forças que atuam sobre os núcleos (que é devido aos elétrons e outros núcleos) desaparecem.

O parâmetro λ corresponde às coordenadas dos núcleos. Para uma molécula com 1 ≤ i ≤ N elétrons com coordenadas { r _i } e 1 ≤ α ≤ M núcleos, cada um localizado em um ponto especificado { R _α = { X _α, Y _α, Z _α )} e com carga nuclear Z _α, o núcleo Hamiltoniano preso é

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {U}}-\sum _{i=1}^{N}\sum _{\alpha =1}^{M}{\frac {Z_{\alpha }}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} _{\alpha }|}}+\sum _{\alpha }^{M}\sum _{\beta >\alpha }^{M}{\frac {Z_{\alpha }Z_{\beta }}{|\mathbf {R} _{\alpha }-\mathbf {R} _{\beta }|}}.}$

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 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

O componente x da força que atua em um determinado núcleo é igual ao negativo da derivada da energia total em relação a essa coordenada. Empregar o teorema de Hellmann – Feynman é igual a

${\displaystyle F_{X_{\gamma }}=-{\frac {\partial E}{\partial X_{\gamma }}}=-{\bigg \langle }\psi {\bigg |}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial X_{\gamma }}}{\bigg |}\psi {\bigg \rangle }.}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Apenas dois componentes do Hamiltoniano contribuem para a derivada requerida   - os termos elétron-núcleo e núcleo-núcleo. Diferenciando os rendimentos hamiltonianos ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial X_{\gamma }}}&={\frac {\partial }{\partial X_{\gamma }}}\left(-\sum _{i=1}^{N}\sum _{\alpha =1}^{M}{\frac {Z_{\alpha }}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} _{\alpha }|}}+\sum _{\alpha }^{M}\sum _{\beta >\alpha }^{M}{\frac {Z_{\alpha }Z_{\beta }}{|\mathbf {R} _{\alpha }-\mathbf {R} _{\beta }|}}\right),\\&=-Z_{\gamma }\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}-X_{\gamma }}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} _{\gamma }|^{3}}}+Z_{\gamma }\sum _{\alpha \neq \gamma }^{M}Z_{\alpha }{\frac {X_{\alpha }-X_{\gamma }}{|\mathbf {R} _{\alpha }-\mathbf {R} _{\gamma }|^{3}}}.\end{aligned}}}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

A inserção disso no teorema de Hellmann – Feynman retorna o componente x da força no núcleo dado em termos de densidade eletrônica ( ρ ( r )) e as coordenadas atômicas e cargas nucleares:

${\displaystyle F_{X_{\gamma }}=Z_{\gamma }\left(\int \mathrm {d} \mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r} ){\frac {x-X_{\gamma }}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\gamma }|^{3}}}-\sum _{\alpha \neq \gamma }^{M}Z_{\alpha }{\frac {X_{\alpha }-X_{\gamma }}{|\mathbf {R} _{\alpha }-\mathbf {R} _{\gamma }|^{3}}}\right).}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Valores de expectativa

Uma abordagem alternativa para aplicar o teorema de Hellmann – Feynman é promover um parâmetro fixo ou discreto que pareça em um hamiltoniano uma variável contínua apenas com o objetivo matemático de obter uma derivada. Os parâmetros possíveis são constantes físicas ou números quânticos discretos. Como exemplo, a equação radial de Schrödinger para um átomo do tipo hidrogênio é

${\displaystyle {\hat {H}}_{l}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left(r^{2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\right)-l(l+1)\right)-{\frac {Ze^{2}}{r}},}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

que depende do número quântico azimutal discreto l . Promover l como um parâmetro contínuo permite que a derivada do Hamiltoniano seja tomada:

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {H}}_{l}}{\partial l}}={\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}(2l+1).}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

O teorema de Hellmann – Feynman permite a determinação do valor esperado de ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}}$ para átomos do tipo hidrogênio:^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigg \langle }\psi _{nl}{\bigg |}{\frac {1}{r^{2}}}{\bigg |}\psi _{nl}{\bigg \rangle }&={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{2l+1}}{\bigg \langle }\psi _{nl}{\bigg |}{\frac {\partial {\hat {H}}_{l}}{\partial l}}{\bigg |}\psi _{nl}{\bigg \rangle }\\&={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{2l+1}}{\frac {\partial E_{n}}{\partial l}}\\&={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{2l+1}}{\frac {\partial E_{n}}{\partial n}}{\frac {\partial n}{\partial l}}\\&={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{2l+1}}{\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{\hbar ^{2}n^{3}}}\\&={\frac {Z^{2}\mu ^{2}e^{4}}{\hbar ^{4}n^{3}(l+1/2)}}.\end{aligned}}}$

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 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Forças de Van der Waals

No final do artigo de Feynman, ele afirma que " as forças de Van der Waals também podem ser interpretadas como decorrentes de distribuições de carga com maior concentração entre os núcleos. A teoria Schrödinger perturbação por dois átomos que interagem com uma separação de R, grande em comparação com os raios dos átomos, conduz ao resultado de que a distribuição de carga de cada uma é distorcida de simetria central, um momento dipolar de ordem 1/R⁷ ser induzida em cada átomo. A distribuição de carga negativa de cada átomo tem seu centro de gravidade movido levemente em direção ao outro. Não é a interação desses dipolos que leva a força de van der Waals das, mas sim a atração de cada núcleo para a distribuição de carga distorcida de seus próprios elétrons que dá a atraente 1/R⁷ força ".

Teorema de Hellmann – Feynman para funções de onda dependentes do tempo

Para uma função de onda geral dependente do tempo que satisfaça a equação de Schrödinger dependente do tempo, o teorema de Hellmann – Feynman não é válido. No entanto, a seguinte identidade é válida:

${\displaystyle {\bigg \langle }\Psi _{\lambda }(t){\bigg |}{\frac {\partial H_{\lambda }}{\partial \lambda }}{\bigg |}\Psi _{\lambda }(t){\bigg \rangle }=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\bigg \langle }\Psi _{\lambda }(t){\bigg |}{\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial \lambda }}{\bigg \rangle }}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Para

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial t}}=H_{\lambda }\Psi _{\lambda }(t)}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Prova

A prova baseia-se apenas na equação de Schrödinger e no pressuposto de que derivadas parciais em relação a λ e t podem ser trocadas.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigg \langle }\Psi _{\lambda }(t){\bigg |}{\frac {\partial H_{\lambda }}{\partial \lambda }}{\bigg |}\Psi _{\lambda }(t){\bigg \rangle }&={\frac {\partial }{\partial \lambda }}\langle \Psi _{\lambda }(t)|H_{\lambda }|\Psi _{\lambda }(t)\rangle -{\bigg \langle }{\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial \lambda }}{\bigg |}H_{\lambda }{\bigg |}\Psi _{\lambda }(t){\bigg \rangle }-{\bigg \langle }\Psi _{\lambda }(t){\bigg |}H_{\lambda }{\bigg |}{\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial \lambda }}{\bigg \rangle }\\&=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \lambda }}{\bigg \langle }\Psi _{\lambda }(t){\bigg |}{\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial t}}{\bigg \rangle }-i\hbar {\bigg \langle }{\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial \lambda }}{\bigg |}{\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial t}}{\bigg \rangle }+i\hbar {\bigg \langle }{\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial t}}{\bigg |}{\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial \lambda }}{\bigg \rangle }\\&=i\hbar {\bigg \langle }\Psi _{\lambda }(t){\bigg |}{\frac {\partial ^{2}\Psi _{\lambda }(t)}{\partial \lambda \partial t}}{\bigg \rangle }+i\hbar {\bigg \langle }{\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial t}}{\bigg |}{\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial \lambda }}{\bigg \rangle }\\&=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\bigg \langle }\Psi _{\lambda }(t){\bigg |}{\frac {\partial \Psi _{\lambda }(t)}{\partial \lambda }}{\bigg \rangle }\end{aligned}}}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Notas

Em mecânica quântica, o teorema da degenerescência de Kramers afirma que, para cada autoestado de energia de um sistema simétrico por reversoẽs no tempo com spin total semi-inteiro, existe outro autoestado, de mesma energia, relacionado ao primeiro pela reversão no tempo. Em outras palavras, a degenerescência em cada nível de energia é um número par se o spin do sistema for semi-inteiro. O teorema recebeu o nome do físico holandês H. A. Kramers.

Em física teórica, a propriedade de "simetria por reversões no tempo" descreve a simetria das leis físicas sob uma transformação de reversão no tempo:

${\displaystyle T\colon {}t\mapsto -t}$

Se o operador hamiltoniano comuta com o operador de reversão no tempo, isto é

${\displaystyle [H,T]=0,}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

então para cada autoestado de energia ${\displaystyle |n\rangle }$, o estado invertido no tempo ${\displaystyle T|n\rangle }$ também é um autoestado com a mesma energia. De maneira geral, esse estado reverso no tempo pode ser idêntico ao estado original, mas não em sistemas de spin semi-inteiro: a reversão no tempo reverte todos os momentos angulares, e a reversão de um spin semi-inteiro não pode produzir o mesmo estado (o número quântico nunca é zero).

Formulação matemática

Em mecânica quântica, a operação de reversão no tempo é representada por um operador antiunitário ${\textstyle T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ agindo em um espaço de Hilbert ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ . Caso ${\textstyle T^{2}=-1}$, então vale o seguinte teorema:

Teorema. Seja ${\textstyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ um operador antiunitário atuando em um espaço de Hilbert ${\textstyle {\mathcal {H}}}$, satisfazendo ${\textstyle T^{2}=-1}$, e ${\textstyle v}$ um vetor em ${\textstyle {\mathcal {H}}}$. Então ${\textstyle Tv}$ é ortogonal a ${\textstyle v}$ .

Demonstração. Pela definição de operador antiunitário, ${\textstyle \langle Tu,Tw\rangle =\langle w,u\rangle }$, onde ${\textstyle u}$ e ${\textstyle w}$ são vetores em ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ . Substituindo ${\textstyle u=Tv}$ e ${\textstyle w=v}$ e usando que ${\textstyle T^{2}=-1}$, temos ${\textstyle -\langle v,Tv\rangle =\langle T^{2}v,Tv\rangle =\langle v,Tv\rangle ,}$ /

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

o que implica que ${\textstyle \langle v,Tv\rangle =0}$ .

Consequentemente, se um hamiltoniano ${\textstyle H}$ é simétrico por reversão de tempo, ou seja, se comuta com ${\textstyle T}$, então todos os seus autoespaços de energia têm degenerescência par: aplicando ${\textstyle T}$ a um autoestado de energia arbitrário ${\textstyle |n\rangle }$, obtemos outro autoestado de energia ${\textstyle T|n\rangle }$ que é ortogonal ao primeiro. A propriedade de ortogonalidade é crucial, pois significa que os dois autoestados ${\textstyle |n\rangle }$ e ${\textstyle T|n\rangle }$ representam diferentes estados físicos.

Para completar o teorema da degenerescência de Kramers, basta provar que o operador de reversão no tempo ${\textstyle T}$ agindo em um espaço de Hilbert com spin semi-inteiro satisfaz ${\textstyle T^{2}=-1}$ . Isso decorre do fato de que o operador spin ${\textstyle \mathbf {S} }$ representa um tipo de momento angular, e, como tal, deve inverter sua direção sob ${\displaystyle T}$ :

$${\displaystyle \mathbf {S} \to T^{-1}\mathbf {S} T=-\mathbf {S} .}$$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Concretamente, um operador ${\textstyle T}$ que tem esta propriedade é geralmente escrito como

$${\displaystyle T=e^{-i\pi S_{y}}K}$$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Onde ${\textstyle S_{y}}$ é o operador de spin ${\textstyle y}$ direção e ${\textstyle K}$ é o mapa de conjugação complexa na base de spin ${\textstyle S_{z}}$.^[1] Sabendo que a matriz ${\textstyle iS_{2}}$ tem componentes reais na base ${\displaystyle S_{z}}$, então

$${\displaystyle T^{2}=e^{-i\pi S_{y}}Ke^{-i\pi S_{y}}K=e^{-i2\pi S_{y}}K^{2}=(-1)^{2S}.}$$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Logo, para spins semi-inteiros ${\textstyle S={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},\ldots }$, temos ${\textstyle T^{2}=-1}$ . Este sinal negativo é análogo ao que aparece quando se faz uma ${\displaystyle 2\pi }$ rotação em sistemas com tais spins, como férmions .

Em física estatística e física da matéria condensada, densidade de estados (DOS, do inglês density of states) é a propriedade que quantifica quão proximamente "empacotado" em níveis de energia está um sistema mecânico quântico. Um DOS alto em um nível específico de energia significa que há muitos estados disponíveis para ocupação. Um DOS nulo, zero, significa que nenhum estado pode ser ocupado em um nível de energia.

Explanação

Ondas, partículas comportando-se como ondas, podem somente existir dentro de sistemas mecânico quânticos (MQ) se propriedades do sistema seguem a ondulação existente. Em alguns sistemas, o espaçamento interatômico e a carga atômica do material segue somente elétrons de certos comprimento de onda existentes. Em outros sistemas. a estrutura cristalina do material leva ondas a se propagar em somente uma direção, enquanto suprime a propagação de ondas em outra direção. Ondas em um sistema MQ tem comprimentos de onda específicos e podem propagar-se em direções específicas, e cada onda ocupa um diferente modo,ou estado. Devido a muitos destes estados terem o mesmos comprimentos de onda, entretanto dividirem a mesma energia, podem existir muitos estados disponíveis em certos níveis de energia, enquanto nenhum estado é disponível em outros níveis de energia.

Por exemplo, a densidade de estados para elétrons em um semicondutor é mostrada em vermelho na Fig. 2. Para elétrons na fronteira da faixa de condução, muito poucos estados estão disponíveis para o elétron ocupar. A medida que o elétron aumenta em energia, a densidade de estados do elétron aumenta e mais estados tornam-se disponíveis para ocupação. Entretanto, porque não há estados disponíveis para elétrons ocuparem dentro da faixa de abertura, elétrons na fronteira da faixa de condução devem perder pelo menos ${\displaystyle E_{g}}$ de energia de maneira a realizarem a transição a outro estado disponível.

A densidade de estados pode ser calculada para elétrons, fótons, ou fónons em sistemas MQ. É usualmente notado com um dos símbolos g, ${\displaystyle \rho }$, n, ou N. É uma função g(E) da energia interna E, na qual a expressão g(E) dE representa o número de estado com energias entre E e E+dE.

Para converter entre energia e vetor de onda, a relação específica entre E e k deve ser conhecida. Por exemplo, a fórmula para elétrons é

${\displaystyle E={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

E para fótons, a fórmula é

${\displaystyle E=\hbar ck}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Pode também ser escrito como uma função da frequência angular ${\displaystyle \omega }$, a qual é proporcional à energia. A densidade de estados é usada extensivamente em física da matéria condensada, onde pode referir-se ao nível de energia dos elétrons, fótons ou fônons em um sólido cristalino. Em sólidos cristalinos, há frequentemente níveis de energia onde a densidade dos estados dos elétrons é zero, o que significa que os elétrons não podem ser excitados a estas energias. A densidade dos estados também ocorre na regra dourada de Fermi, a qual descreve quão rápido as transições mecânico quânticas ocorrem na presença de uma perturbação.

Num sistema tridimensional, a densidade de estados em espaço recíproco (espaço k) é

${\displaystyle G(k)\,dk={\frac {nV}{2\pi ^{2}}}\,k^{2}\,dk,}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde V é o volume e n o número de pontos de ramificação que existem para um único valor de k. Estes pontos de ramificação são por exemplo o spin-acima e spin-abaixo estados para elétrons, as polarizações de fótons, e os modos longitudinais ou transversais para fônons.

Materiais cristalinos

Dado que em materiais (cristalinos), o número de escalas varia linearmente com o volume, uma diferente definição de densidade de estados é algumas vezes usada, na qual g(E) ou g(k) é o número de estados por unidade de energia (vetor onda) e por unidade de volume ou por unidade de célula da grade.

Em um material cristalino, onde os estados mecânico quânticos podem ser descritos em termos de seus vetores de onda k, a densidade dos estados como uma função de k é não dependente das propriedades do material. Das condições periódicas segue que em um volume arbitrário ${\displaystyle V=L^{3}}$, somente vetores k são mantidos satisfazendo

${\displaystyle (k_{x},k_{y},k_{z})={\frac {2\pi }{L}}(n_{x},n_{y},n_{z}),}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde ${\displaystyle n_{i}}$ são inteiros positivos ou negativos arbitrários. Usando

${\displaystyle |k|^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2},}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

pode ser derivado que para uma matriz tridimensional o número de estados G(k) dk entre k e k+dk é

${\displaystyle G(k)={\frac {Vk^{2}}{2\pi ^{2}}}}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

para um único caso.

Em sólidos, a relação entre E e k é geralmente muito complexa e dependente do material. Se a relação é conhecida, a expressão para a densidade dos estados é

${\displaystyle g(E)=G(k(E)){\frac {dk}{dE}}.}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

A relação acima é somente significativa se a energia somente depende da manitude ${\displaystyle |k|}$ do vetor k.